學程式、上資訊課或調整網頁顏色時，一定會遇到二進位和十六進位。很多人背得出「255 就是 FF」，卻說不出為什麼。這篇文章從進位制的觀念講起，帶你用紙筆完成各種換算，每個例子都可以自己驗算。想直接對答案的話，可以打開進位轉換器，輸入任何一種進位，其他進位會即時算出來。
什麼是進位制？
進位制是「數到多少就進一位」的規則。十進位有 0 到 9 共十個數字，數到 10 就進位，所以每一位代表 10 的次方：
345 ＝ 3×100 ＋ 4×10 ＋ 5×1把「10」換成別的數字，就得到其他進位：
| 進位 | 可用的數字 | 每一位代表 |
|---|---|---|
| 二進位 | 0、1 | 2 的次方（1、2、4、8、16…） |
| 八進位 | 0 到 7 | 8 的次方（1、8、64、512…） |
| 十進位 | 0 到 9 | 10 的次方（1、10、100…） |
| 十六進位 | 0 到 9、A 到 F | 16 的次方（1、16、256、4096…） |
十六進位需要 16 個符號，數字不夠用，所以借用英文字母：A＝10、B＝11、C＝12、D＝13、E＝14、F＝15。
同一個數量可以用不同進位寫出來。十進位的 255 寫成二進位是 11111111、八進位是 377、十六進位是 FF，它們代表的是同一個數。
為什麼電腦用二進位？
電腦是由電路組成的，而電路最容易穩定分辨的就是兩種狀態：有電與沒電、高電位與低電位。把這兩種狀態對應成 1 和 0，就是二進位。如果要讓電路分辨十種不同的電壓，只要有一點雜訊就可能判斷錯誤；只分兩種則可靠得多。
一個 0 或 1 稱為一個位元（bit），8 個位元組成一個位元組（byte）。一個位元組有 2 的 8 次方，也就是 256 種組合，剛好可以表示 0 到 255。
十六進位為什麼這麼常用？
二進位對電腦很方便，對人卻很難讀：11010110 一眼很難看出是多少，抄寫時也容易漏掉一位。十六進位剛好解決這個問題，因為 16＝2 的 4 次方，一個十六進位數字恰好等於 4 個位元：
1101 0110
D 6 → D6一個位元組（8 個位元）就能寫成兩個十六進位數字，既短又能一對一還原成二進位。常見的例子有：
- 網頁色碼：
#FF8800拆成 FF、88、00，分別是紅 255、綠 136、藍 0，每種顏色剛好占一個位元組。 - 記憶體位址：像
0x7FFF這樣的寫法，前面的0x表示後面是十六進位，7FFF 等於十進位的 32767。 - MAC 位址與雜湊值：也都是用十六進位把一長串位元寫得比較短。
八進位則是每 3 個位元換成一個數字，現在最常看到的地方是 Linux 的檔案權限（例如 755）。
十進位轉二進位：短除法
把數字一直除以 2，記下每次的餘數，直到商變成 0，最後把餘數由下往上讀。以 156 為例：
156 ÷ 2 ＝ 78 … 餘 0
78 ÷ 2 ＝ 39 … 餘 0
39 ÷ 2 ＝ 19 … 餘 1
19 ÷ 2 ＝ 9 … 餘 1
9 ÷ 2 ＝ 4 … 餘 1
4 ÷ 2 ＝ 2 … 餘 0
2 ÷ 2 ＝ 1 … 餘 0
1 ÷ 2 ＝ 0 … 餘 1由下往上讀餘數：1、0、0、1、1、1、0、0，所以 156 的二進位是 10011100。
同樣的方法換成除以 8 或除以 16，就能轉成八進位或十六進位。例如 156÷16＝9 餘 12，9÷16＝0 餘 9，12 寫成 C，由下往上讀是 9C。
二進位轉十進位：位值展開
反過來，把每一位乘上它代表的 2 的次方，再全部加起來。最右邊是 2⁰＝1，往左依序是 2、4、8、16、32、64、128：
10011100
＝ 1×128 ＋ 0×64 ＋ 0×32 ＋ 1×16 ＋ 1×8 ＋ 1×4 ＋ 0×2 ＋ 0×1
＝ 128 ＋ 16 ＋ 8 ＋ 4
＝ 156結果回到 156，和前面的短除法互相驗證。十六進位也是一樣的做法，只是改成乘 16 的次方：
2F ＝ 2×16 ＋ 15×1 ＝ 32 ＋ 15 ＝ 47二進位、八進位、十六進位互轉：分組就好
因為 8 和 16 都是 2 的次方，這三種進位之間不需要經過十進位，直接分組即可。記得一律從最右邊開始分，左邊不夠的補 0。
以 11010110 為例：
- 每 4 位一組：
1101 0110→ D、6 → 十六進位 D6 - 每 3 位一組：
011 010 110→ 3、2、6 → 八進位 326
驗算：D6＝13×16＋6＝214；326＝3×64＋2×8＋6＝192＋16＋6＝214，兩者一致。
小數怎麼換算？
整數部分用「除以 2 取餘數」，小數部分則相反，用「乘以 2 取整數部分」，而且是由上往下讀。以 0.625 為例：
0.625 × 2 ＝ 1.25 → 取 1，剩 0.25
0.25 × 2 ＝ 0.5 → 取 0，剩 0.5
0.5 × 2 ＝ 1.0 → 取 1，剩 0（結束）所以 0.625＝0.101（二進位）。驗算：1×½＋0×¼＋1×⅛＝0.5＋0.125＝0.625。再加上整數部分 10＝1010，就得到 10.625＝1010.101，寫成八進位是 12.5、十六進位是 A.A。
不過並不是每個小數都乘得完。0.1 乘以 2 會一直循環下去，得到 0.000110011001…，永遠寫不完。這就是為什麼很多程式語言裡 0.1＋0.2 不會剛好等於 0.3。進位轉換器遇到這種情況時，小數最多顯示 32 位，並在旁邊註明「已截斷」。
二補數：電腦怎麼表示負數？
在紙上寫負數只要加個負號，例如 -255＝-11111111。但電腦裡只有 0 和 1，沒有「負號」這個符號，所以大多數電腦採用二補數。
做法是先決定位元寬度（例如 8 位元），然後：
- 寫出正數的二進位，不足的位數在左邊補 0。
- 把每個位元反轉（0 變 1、1 變 0）。
- 再加 1。
以 8 位元的 -5 為例：
5 的二進位：00000101
全部反轉： 11111010
加 1： 11111011 ← 這就是 -5可以驗算：5＋(-5) 應該等於 0。00000101＋11111011＝1 00000000，超出 8 位元的那個 1 被丟掉，剩下 00000000，剛好是 0。這也是二補數的優點——加法和減法可以共用同一套電路。
幾個值得記住的 8 位元數值：
| 十進位 | 8 位元二補數 |
|---|---|
| 127（最大值） | 01111111 |
| 1 | 00000001 |
| 0 | 00000000 |
| -1 | 11111111 |
| -128（最小值） | 10000000 |
最左邊的位元是 0 代表非負數，是 1 代表負數。8 位元能表示 -128 到 127；16 位元是 -32768 到 32767；32 位元是 -2147483648 到 2147483647。
要注意的是，同一串位元怎麼解讀取決於「有沒有正負號」：11111111 當成無號數是 255，當成 8 位元二補數則是 -1。
小結
- 進位制就是「每一位代表某個數的次方」，二進位是 2、十六進位是 16。
- 電腦用二進位，是因為電路最容易可靠地分辨兩種狀態。
- 一個十六進位數字等於 4 個位元，所以色碼、記憶體位址都用十六進位書寫。
- 十進位轉其他進位用短除法（餘數由下往上讀），轉回來用位值展開。
- 二進位、八進位、十六進位互轉只要從右邊分組。
- 負數在電腦裡用二補數表示：位元反轉再加 1。
練習時可以先自己用紙筆算一次，再把數字輸入進位轉換器核對。工具會列出除以 2 取餘數的每一步、位值展開式，以及 8、16、32 位元的二補數，很適合拿來對照自己的計算過程。