「複利」是數學課會學到的指數成長，也是存款、貸款利息背後的計算方式。這篇文章用幾個可以自己拿計算機驗算的例子，說明複利公式怎麼來、它和單利差在哪裡、每月定期投入要怎麼算，以及常聽到的 72 法則到底準不準。想直接看結果的話，可以打開複利計算機，輸入數字就會即時算出期末金額與逐年變化。
先說明一件事：本文只談複利的數學原理，不是投資建議。文中的利率都是為了示範計算而假設的固定數字；實際投資報酬會波動且可能虧損，也沒有計入通膨、稅與手續費，所有結果僅供參考。
單利與複利的差別
單利每一期都只用原始本金計算利息。本金 100,000 元、年利率 5%，每年的利息固定是 100,000×5%＝5,000 元：
單利期末金額 ＝ P × (1 ＋ r × n)複利則是把利息併入本金，下一期用「本金＋利息」一起計息：
複利期末金額 ＝ P × (1 ＋ r)^n用同樣的本金 100,000 元、年利率 5% 逐年比較：
| 年數 | 單利 | 複利（每年一次） | 差距 |
|---|---|---|---|
| 1 | 105,000 | 105,000 | 0 |
| 2 | 110,000 | 110,250 | 250 |
| 3 | 115,000 | 115,763 | 763 |
| 10 | 150,000 | 162,889 | 12,889 |
| 20 | 200,000 | 265,330 | 65,330 |
| 30 | 250,000 | 432,194 | 182,194 |
第 1 年兩者相同，因為還沒有「利息的利息」。第 2 年複利多出的 250 元，正是第 1 年那 5,000 元利息再乘上 5% 的結果。單利每年固定增加 5,000 元，是一條直線；複利每年乘上 1.05，是一條越來越陡的指數曲線。
複利公式怎麼來？
第 1 年年底，金額變成 P×(1＋r)；第 2 年年底再乘一次 (1＋r)，變成 P×(1＋r)²；以此類推，n 年後就是 P×(1＋r)^n。
驗算一次：本金 100,000 元、年利率 5%、10 年、每年複利一次。
100,000 × 1.05^10 ＝ 100,000 × 1.6288946… ≈ 162,889.46如果改成每個月計息一次，就把年利率除以 12 當作月利率，期數改成月數：
100,000 × (1 ＋ 0.05÷12)^120 ≈ 164,700.95同樣是年利率 5%，每月複利比每年複利多了約 1,811 元。計息次數越多，利息越早併入本金，期末金額也就越高，不過差距遠不如「時間」與「利率」本身的影響大。
每月定期投入怎麼算？
如果除了初始本金 P，每個月月底還固定投入一筆金額 PMT，就要把每一筆投入各自的複利結果加起來。這是一個等比級數，加總之後得到：
期末金額 ＝ P × (1＋i)^N ＋ PMT × ((1＋i)^N － 1) ÷ i其中 i＝年利率÷12÷100 是月利率，N 是月數。前半段是初始本金的成長，後半段是所有定期投入累積的結果。
算例：初始本金 100,000 元、每月投入 5,000 元、年利率 5%、20 年、每月複利。
- 月利率 i＝5÷12÷100≈0.0041667，月數 N＝240
- (1＋i)^240≈2.71264
- 初始本金的部分：100,000×2.71264≈271,264 元
- 定期投入的部分：5,000×(2.71264－1)÷0.0041667≈2,055,168 元
- 期末金額：271,264＋2,055,168＝2,326,432 元
累計投入的本金是 100,000＋5,000×240＝1,300,000 元，所以利息約 1,026,432 元，占期末金額約 44.1%。把同樣的數字輸入複利計算機，會看到相同的結果。
有兩個細節要留意：
- 利率為 0 時，公式的分母 i 會變成 0，不能直接代入。這時沒有利息，期末金額就是 P＋PMT×N；上面的例子會得到 100,000＋5,000×240＝1,300,000 元。
- 投入時間點的假設會影響結果。上面假設每月月底投入。如果改成每年複利一次、並把一年的投入 60,000 元在年底一次投入，公式變成 P×(1＋r)^n＋A×((1＋r)^n－1)÷r，同樣條件算出來約 2,249,287 元，比每月複利少，因為每筆錢開始計息的時間比較晚。
時間對複利的影響
複利公式裡，時間 n 在指數的位置，所以時間拉長帶來的變化不是等比例的。只看每月投入 5,000 元、年利率 5%、每月複利（初始本金為 0）：
| 期間 | 累計投入 | 期末金額 | 累計利息 | 利息占比 |
|---|---|---|---|---|
| 10 年 | 600,000 | 776,411 | 176,411 | 22.7% |
| 20 年 | 1,200,000 | 2,055,168 | 855,168 | 41.6% |
| 30 年 | 1,800,000 | 4,161,293 | 2,361,293 | 56.7% |
投入的本金從 10 年到 30 年變成 3 倍，利息卻變成約 13 倍；到了第 30 年，在這組假設下利息已經超過本金。這就是指數成長的特性：前面幾年看起來很慢，越後面每年增加的金額越大。
同樣的道理也適用於利率。本金 100,000 元、每年複利、20 年：年利率 3% 是 180,611 元，5% 是 265,330 元，7% 是 386,968 元。利率只差 2 個百分點，20 年後的差距卻很可觀。這也提醒我們，試算結果對「假設的利率」非常敏感；現實中的報酬率每年不同，也可能是負的，固定利率的試算只能說明數學關係，不能當成預測。
72 法則：翻倍要幾年？
想知道一筆錢在複利下多久會變成 2 倍，要解 (1＋r)^n＝2，兩邊取對數得到：
n ＝ ln(2) ÷ ln(1 ＋ r)這個式子不好心算，所以有了「72 法則」：把 72 除以年利率的數字，就是大約需要的年數。
| 年利率 | 72 法則 | 精確值 |
|---|---|---|
| 2% | 36 年 | 約 35.00 年 |
| 5% | 14.4 年 | 約 14.21 年 |
| 6% | 12 年 | 約 11.90 年 |
| 10% | 7.2 年 | 約 7.27 年 |
可以看到在 6% 到 10% 之間，72 法則相當準；利率偏低時會略為高估，偏高時則會低估。它的價值在於快速估算量級，需要精確數字時還是要回到對數公式。複利計算機會同時列出兩種算法的結果，方便對照。
小結
- 單利是直線成長，複利是指數成長；第 1 期兩者相同，之後差距逐期擴大。
- 複利公式：P×(1＋r)^n；每月定期投入時再加上 PMT×((1＋i)^N－1)÷i。
- 利率為 0 時不能套用含除法的公式，直接把本金與投入相加即可。
- 時間與利率都在指數的位置，對結果的影響遠大於計息頻率。
- 72 法則是近似值，精確的翻倍年數是 ln(2)÷ln(1＋r)。
想換不同數字觀察變化，可以使用複利計算機；需要換算百分比時，也可以搭配百分比計算器。最後再提醒一次：這些計算假設報酬率每年固定，未計入通膨、稅與手續費，實際結果可能有很大出入，僅供學習與參考，不構成任何投資或理財建議。