最大公因數是什麼？GCD 計算方法與完整例題

最大公因數是國小數學中很重要的概念，經常出現在分數約分、平均分組、長方形切割與應用問題中。

最大公因數的英文是 Greatest Common Divisor，通常簡寫成 GCD。

最大公因數的意思

如果一個整數可以整除另一個整數，就稱這個整數是另一個數的因數。

例如，12 的因數有：

• 1
• 2
• 3
• 4
• 6
• 12

18 的因數有：

• 1
• 2
• 3
• 6
• 9
• 18

12 和 18 的共同因數是 1、2、3、6，其中最大的數是 6，所以 12 和 18 的最大公因數是 6。

你也可以直接使用最大公因數計算器，輸入兩個以上的整數查看答案與計算步驟。

方法一：列舉因數

列舉法適合數字比較小的題目。

例題

求 16 和 24 的最大公因數。

16 的因數是：

1、2、4、8、16

24 的因數是：

1、2、3、4、6、8、12、24

共同因數是 1、2、4、8，其中最大的數是 8，因此 16 和 24 的最大公因數是 8。

方法二：質因數分解

先將每一個數寫成質因數的乘積，再找出共同擁有的質因數。

例如：

24 = 2 × 2 × 2 × 3
36 = 2 × 2 × 3 × 3

24 和 36 共同擁有的質因數是 2、2、3，把它們相乘：

2 × 2 × 3 = 12

所以 24 和 36 的最大公因數是 12。

如果不確定如何進行質因數分解，可以使用質因數分解計算器。

方法三：短除法

短除法適合同時計算兩個以上整數的最大公因數。

例如，要計算 24、36 和 60 的最大公因數，可以依序使用共同的質因數去除：

2 | 24  36  60
2 | 12  18  30
3 |  6   9  15
     2   3   5

把左側共同使用的除數相乘：

2 × 2 × 3 = 12

因此 24、36 和 60 的最大公因數是 12。

方法四：輾轉相除法

當數字比較大時，可以使用輾轉相除法。

例如，求 48 和 18 的最大公因數：

48 ÷ 18 = 2 餘 12
18 ÷ 12 = 1 餘 6
12 ÷ 6 = 2 餘 0

當餘數變成 0 時，最後一個不是 0 的餘數就是最大公因數，所以 48 和 18 的最大公因數是 6。

最大公因數的生活應用

最大公因數常用來處理以下問題：

1. 將物品平均分成最多組。
2. 每一組的物品數量必須相同。
3. 將分數約成最簡分數。
4. 將長方形切成相同大小的最大正方形。
5. 找出多個數量共同的分組方式。

應用題

老師有 24 枝鉛筆和 36 個橡皮擦，要平均分成最多組，而且每組的鉛筆數量與橡皮擦數量都必須相同。

先計算 24 和 36 的最大公因數：

GCD(24, 36) = 12

因此最多可以分成 12 組。

每組有：

24 ÷ 12 = 2 枝鉛筆
36 ÷ 12 = 3 個橡皮擦

答案是每組有 2 枝鉛筆和 3 個橡皮擦。

最大公因數和最小公倍數的差別

最大公因數和最小公倍數處理的是不同問題。

比較項目	最大公因數	最小公倍數
英文簡稱	GCD	LCM
尋找內容	最大的共同因數	最小的共同倍數
常見用途	分組、約分、切割	週期、同時發生
答案範圍	不會大於原來的數	通常不小於原來的數

需要計算共同倍數時，可以使用最小公倍數計算器。

如何選擇計算方法？

• 數字較小時，使用列舉法。
• 已經學過質因數時，使用質因數分解法。
• 同時處理多個數時，使用短除法。
• 數字很大時，使用輾轉相除法。
• 需要快速檢查答案時，使用最大公因數計算器。

結論

最大公因數是兩個或多個整數共同因數中最大的數。

學會最大公因數之後，可以進一步處理分數約分、平均分組、長方形切割與其他數學應用問題。

你可以使用本站的最大公因數計算器，輸入數字後立即查看答案與詳細步驟。